home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Collection of Internet / Collection of Internet.iso / faq / sci / fractal_ < prev    next >
Internet Message Format  |  1994-04-14  |  68KB

  1. Path: bloom-beacon.mit.edu!hookup!usc!howland.reston.ans.net!agate!sprite.berkeley.edu!shirriff
  2. From: shirriff@sprite.berkeley.edu (Ken Shirriff)
  3. Newsgroups: sci.fractals,news.answers,sci.answers
  4. Subject: Fractal Questions and Answers
  5. Supersedes: <fractal-faq_764214825@sprite.Berkeley.EDU>
  6. Followup-To: sci.fractals
  7. Date: 14 Apr 1994 20:20:46 GMT
  8. Organization: University of California, Berkeley
  9. Lines: 1416
  10. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  11. Expires: 8 May 1994 20:23:55 GMT
  12. Message-ID: <fractal-faq_766355035@sprite.Berkeley.EDU>
  13. NNTP-Posting-Host: hijack.berkeley.edu
  14. Summary: Fractal software, algorithms, definitions, and references.
  15. Keywords: fractals, chaos, Mandelbrot
  16. Xref: bloom-beacon.mit.edu sci.fractals:3450 news.answers:18063 sci.answers:1084
  17.  
  18. Archive-name: fractal-faq
  19. Last-modified: Mar 20, 1994
  20.  
  21. The international computer network Usenet contains discussions on a variety of
  22. topics.  The Usenet newsgroup "sci.fractals" is devoted to discussions on
  23. fractals.  Since many common questions reoccur during the discussions, I have
  24. compiled this "Frequently Asked Questions" file, consisting of questions and
  25. answers contributed by many participants.  This file also lists various pro-
  26. grams and papers that can be accessed over the Internet by using "anonymous
  27. ftp".  This file is not intended as a general introduction to fractals, or a
  28. set of rigorous definitions, but rather a useful summary from sci.fractals.
  29.  
  30. * As a new feature, the fractal FAQ has some links for use with the World Wide
  31. Web.  It can be accessed with a program such as xmosaic at
  32. http://www.cis.ohio-state.edu/hypertext/faq/usenet/fractal-faq/faq.html .
  33. Please let me know if there are more links I should add.
  34.  
  35. The questions which are answered are:
  36. Q1: I want to learn about fractals.  What should I read first?
  37. Q2: What is a fractal? What are some examples of fractals?
  38. Q3: What is chaos?
  39. Q4a: What is fractal dimension? How is it calculated?
  40. Q4b: What is topological dimension?
  41. Q5: What is a strange attractor?
  42. Q6a: What is the Mandelbrot set?
  43. Q6b: How is the Mandelbrot set actually computed?
  44. Q6c: Why do you start with z=0?
  45. Q6d: What are the bounds of the Mandelbrot set?  When does it diverge?
  46. Q6e: How can I speed up Mandelbrot set generation?
  47. Q6f: What is the area of the Mandelbrot set?
  48. Q6g: What can you say about the structure of the Mandelbrot set?
  49. Q6h: Is the Mandelbrot set connected?
  50. Q7a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?
  51. Q7b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?
  52. Q7c: How is a Julia set actually computed?
  53. Q7d: What are some Julia set facts?
  54. Q8a: How does complex arithmetic work?
  55. Q8b: How does quaternion arithmetic work?
  56. Q9: What is the logistic equation?
  57. Q10: What is Feigenbaum's constant?
  58. Q11a: What is an iterated function system (IFS)?
  59. Q11b: What is the state of fractal compression?
  60. Q12a: How can you make a chaotic oscillator?
  61. *Q12b: What are laboratory demonstrations of chaos?
  62. Q13: What are L-systems?
  63. Q14: What is some information on fractal music?
  64. Q15: How are fractal mountains generated?
  65. Q16: What are plasma clouds?
  66. Q17a: Where are the popular periodically-forced Lyapunov fractals described?
  67. Q17b: What are Lyapunov exponents?
  68. Q17c: How can Lyapunov exponents be calculated?
  69. Q18: Where can I get fractal T-shirts and posters?
  70. Q19: How can I take photos of fractals?
  71. Q20: How can 3-D fractals be generated?
  72. Q21a: What is Fractint?
  73. Q21b: How does Fractint achieve its speed?
  74. Q22: Where can I obtain software packages to generate fractals?
  75. Q23a: How does anonymous ftp work?
  76. Q23b: What if I can't use ftp to access files?
  77. Q24a: Where are fractal pictures archived?
  78. Q24b: How do I view fractal pictures from alt.binaries.pictures.fractals?
  79. Q25: Where can I obtain fractal papers?
  80. Q26: How can I join the BITNET fractal discussion?
  81. Q27: What are some general references on fractals and chaos?
  82.  
  83. If you are viewing this file with a newsreaders such as "rn" or "trn", you can
  84. search for a particular question by using "g^Q5" (that's lower-case g, up-
  85. arrow, Q, and a number) where "5" is the question you wish.  Or you may browse
  86. forward using <control-G> to search for a Subject: line.
  87.  
  88. This file is normally posted to the Usenet groups sci.fractals, news.answers,
  89. and sci.answers about every two weeks.  Like most FAQs, the most recent copy
  90. of this FAQ can be obtained over the Internet for free by "anonymous ftp" to
  91. rtfm.mit.edu [18.70.0.209]; it is in /pub/usenet/news.answers/fractal-faq.
  92.  
  93. I am happy to receive more information to add to this file.  Also, let me know
  94. if you find mistakes.  Please send additions, comments, errors, etc. to Ken
  95. Shirriff (email: shirriff@cs.Berkeley.EDU, WWW:
  96. file://sprite.berkeley.edu/www/ken.shirriff.html )
  97.  
  98. This file is Copyright 1993,1994 Ken Shirriff.  Permission is given for non-
  99. profit distribution of this file, as long as the copyright notice and the list
  100. of contributors remain attached.  However, I would like to be informed if you
  101. distribute this file on other systems, so I have an idea of where it is.  Con-
  102. tact me for more information on distribution.
  103.  
  104.  
  105. ------------------------------
  106.  
  107. Subject: Learning about fractals
  108.  
  109. Q1: I want to learn about fractals.  What should I read first?
  110. A1: _Chaos_ is a good book to get a general overview and history.  _Fractals
  111. Everywhere_ is a textbook on fractals that describes what fractals are and how
  112. to generate them, but it requires knowing intermediate analysis.  _Chaos,
  113. Fractals, and Dynamics_ is also a good start.  There is a longer book list at
  114. the end of this file (see "What are some general references?").
  115.  
  116. ------------------------------
  117.  
  118. Subject: What is a fractal?
  119.  
  120. Q2: What is a fractal? What are some examples of fractals?
  121. A2: A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided
  122. in parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the
  123. whole.  Fractals are generally self-similar and independent of scale.
  124.  
  125. There are many mathematical structures that are fractals; e.g.  Sierpinski
  126. triangle, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set, and Lorenz attractor.
  127. Fractals also describe many real-world objects, such as clouds, mountains,
  128. turbulence, and coastlines, that do not correspond to simple geometric shapes.
  129.  
  130. Benoit Mandelbrot gives a mathematical definition of a fractal as a set for
  131. which the Hausdorff Besicovich dimension strictly exceeds the topological di-
  132. mension.  However, he is not satisfied with this definition as it excludes
  133. sets one would consider fractals.
  134.  
  135. ------------------------------
  136.  
  137. Subject: Chaos
  138.  
  139. Q3: What is chaos?
  140. A3: Chaos is apparently unpredictable behavior arising in a deterministic sys-
  141. tem because of great sensitivity to initial conditions.  Chaos arises in a
  142. dynamical system if two arbitrarily close starting points diverge exponential-
  143. ly, so that their future behavior is eventually unpredictable.
  144.  
  145. Weather is considered chaotic since arbitrarily small variations in initial
  146. conditions can result in radically different weather later.  This may limit
  147. the possibilities of long-term weather forecasting.  (The canonical example is
  148. the possibility of a butterfly's sneeze affecting the weather enough to cause
  149. a hurricane weeks later.)
  150.  
  151. Devaney defines a function as chaotic if it has sensitive dependence on ini-
  152. tial conditions, it is topologically transitive, and periodic points are
  153. dense.  In other words, it is unpredictable, indecomposable, and yet contains
  154. regularity.
  155.  
  156. Allgood and Yorke define chaos as a trajectory that is exponentially unstable
  157. and neither periodic or asymptotically periodic.  That is, it oscillates ir-
  158. regularly without settling down.
  159.  
  160. ------------------------------
  161.  
  162. Subject: Fractal dimension
  163.  
  164. Q4a: What is fractal dimension? How is it calculated?
  165. A4a: A common type of fractal dimension is the Hausdorff-Besicovich Dimension,
  166. but there are several different ways of computing fractal dimension.
  167.  
  168. Roughly, fractal dimension can be calculated by taking the limit of the quo-
  169. tient of the log change in object size and the log change in measurement
  170. scale, as the measurement scale approaches zero.  The differences come in what
  171. is exactly meant by "object size" and what is meant by "measurement scale" and
  172. how to get an average number out of many different parts of a geometrical ob-
  173. ject.  Fractal dimensions quantify the static *geometry* of an object.
  174.  
  175. For example, consider a straight line.  Now blow up the line by a factor of
  176. two.  The line is now twice as long as before.  Log 2 / Log 2 = 1, correspond-
  177. ing to dimension 1.  Consider a square.  Now blow up the square by a factor of
  178. two.  The square is now 4 times as large as before (i.e. 4 original squares
  179. can be placed on the original square).  Log 4 / log 2 = 2, corresponding to
  180. dimension 2 for the square.  Consider a snowflake curve formed by repeatedly
  181. replacing ___ with _/\_, where each of the 4 new lines is 1/3 the length of
  182. the old line.  Blowing up the snowflake curve by a factor of 3 results in a
  183. snowflake curve 4 times as large (one of the old snowflake curves can be
  184. placed on each of the 4 segments _/\_).  Log 4 / log 3 = 1.261...  Since the
  185. dimension 1.261 is larger than the dimension 1 of the lines making up the
  186. curve, the snowflake curve is a fractal.
  187.  
  188. For more information on fractal dimension and scale, access via the WWW
  189. http://life.anu.edu.au/complex_systems/tutorial3.html .
  190.  
  191. Fractal dimension references:
  192.  
  193. [1]  J. P. Eckmann and D. Ruelle, _Reviews of Modern Physics_ 57, 3 (1985),
  194. pp. 617-656.
  195.  
  196. [2]  K. J. Falconer, _The Geometry of Fractal Sets_, Cambridge Univ.  Press,
  197. 1985.
  198.  
  199. [3]  T. S. Parker and L. O. Chua, _Practical Numerical Algorithms for Chaotic
  200. Systems_, Springer Verlag, 1989.
  201.  
  202. [4]  H. Peitgen and D. Saupe, eds., _The Science of Fractal Images_,
  203. Springer-Verlag Inc., New York, 1988.  ISBN 0-387-96608-0.  This book contains
  204. many color and black and white photographs, high level math, and several
  205. pseudocoded algorithms.
  206.  
  207. [5]  G. Procaccia, _Physica D_ 9 (1983), pp. 189-208.
  208.  
  209. [6]  J. Theiler, _Physical Review A_ 41 (1990), pp. 3038-3051.
  210.  
  211. References on how to estimate fractal dimension:
  212.  
  213. 1.  S. Jaggi, D. A. Quattrochi and N. S. Lam, Implementation and operation of
  214. three fractal measurement algorithms for analysis of remote-sensing data.,
  215. _Computers & Geosciences_ 19, 6 (July 1993), pp. 745-767.
  216.  
  217. 2.  E. Peters, _Chaos and Order in the Capital Markets_, New York, 1991.  ISBN
  218. 0-471-53372-6 Discusses methods of computing fractal dimension.  Includes
  219. several short programs for nonlinear analysis.
  220.  
  221. 3.  J. Theiler, Estimating Fractal Dimension, _Journal of the Optical Society
  222. of America A-Optics and Image Science_ 7, 6 (June 1990), pp. 1055-1073.
  223.  
  224. There are some programs available to compute fractal dimension.  They are
  225. listed in a section below (see "Fractal software").
  226.  
  227. Q4b: What is topological dimension?
  228. A4b: Topological dimension is the "normal" idea of dimension; a point has
  229. topological dimension 0, a line has topological dimension 1, a surface has
  230. topological dimension 2, etc.
  231.  
  232. For a rigorous definition:
  233.  
  234. A set has topological dimension 0 if every point has arbitrarily small
  235. neighborhoods whose boundaries do not intersect the set.
  236.  
  237. A set S has topological dimension k if each point in S has arbitrarily small
  238. neighborhoods whose boundaries meet S in a set of dimension k-1, and k is the
  239. least nonnegative integer for which this holds.
  240.  
  241. ------------------------------
  242.  
  243. Subject: Strange attractors
  244.  
  245. Q5: What is a strange attractor?
  246. A5: A strange attractor is the limit set of a chaotic trajectory.  A strange
  247. attractor is an attractor that is topologically distinct from a periodic orbit
  248. or a limit cycle.  A strange attractor can be considered a fractal attractor.
  249. An example of a strange attractor is the Henon attractor.
  250.  
  251. Consider a volume in phase space defined by all the initial conditions a
  252. system may have.  For a dissipative system, this volume will shrink as the
  253. system evolves in time (Liouville's Theorem).  If the system is sensitive to
  254. initial conditions, the trajectories of the points defining initial conditions
  255. will move apart in some directions, closer in others, but there will be a net
  256. shrinkage in volume.  Ultimately, all points will lie along a fine line of
  257. zero volume.  This is the strange attractor.  All initial points in phase
  258. space which ultimately land on the attractor form a Basin of Attraction.  A
  259. strange attractor results if a system is sensitive to initial conditions and
  260. is not conservative.
  261.  
  262. Note: While all chaotic attractors are strange, not all strange attractors are
  263. chaotic.  Reference:
  264.  
  265. 1.  Grebogi, et al., Strange Attractors that are not Chaotic, _Physica D_ 13
  266. (1984), pp. 261-268.
  267.  
  268. ------------------------------
  269.  
  270. Subject: The Mandelbrot set
  271.  
  272. Q6a: What is the Mandelbrot set?
  273. A6a: The Mandelbrot set is the set of all complex c such that iterating z ->
  274. z^2+c does not go to infinity (starting with z=0).
  275.  
  276. An image of the Mandelbrot set is available on the WWW at
  277. gopher://life.anu.edu.au:70/I9/.WWW/complex_systems/mandel1.gif .
  278.  
  279. Q6b: How is the Mandelbrot set actually computed?
  280. A6b: The basic algorithm is:
  281. For each pixel c, start with z=0.  Repeat z=z^2+c up to N times, exiting if
  282. the magnitude of z gets large.
  283. If you finish the loop, the point is probably inside the Mandelbrot set.  If
  284. you exit, the point is outside and can be colored according to how many
  285. iterations were completed.  You can exit if |z|>2, since if z gets this big it
  286. will go to infinity.  The maximum number of iterations, N, can be selected as
  287. desired, for instance 100.  Larger N will give sharper detail but take longer.
  288.  
  289. Q6c: Why do you start with z=0?
  290. A6c: Zero is the critical point of z^2+c, that is, a point where d/dz (z^2+c)
  291. = 0.  If you replace z^2+c with a different function, the starting value will
  292. have to be modified.  E.g. for z->z^2+z+c, the critical point is given by
  293. 2z+1=0, so start with z=-1/2.  In some cases, there may be multiple critical
  294. values, so they all should be tested.
  295.  
  296. Critical points are important because by a result of Fatou: every attracting
  297. cycle for a polynomial or rational function attracts at least one critical
  298. point.  Thus, testing the critical point shows if there is any stable
  299. attractive cycle.  See also:
  300.  
  301. 1.  M. Frame and J. Robertson, A Generalized Mandelbrot Set and the Role of
  302. Critical Points, _Computers and Graphics_ 16, 1 (1992), pp. 35-40.
  303.  
  304. Note that you can precompute the first Mandelbrot iteration by starting with
  305. z=c instead of z=0, since 0^2+c=c.
  306.  
  307. Q6d: What are the bounds of the Mandelbrot set?  When does it diverge?
  308. A6d: The Mandelbrot set lies within |c|<=2.  If |z| exceeds 2, the z sequence
  309. diverges.  Proof: if |z|>2, then |z^2+c| >= |z^2|-|c| > 2|z|-|c|.  If
  310. |z|>=|c|, then 2|z|-|c| > |z|.  So, if |z|>2 and |z|>=c, |z^2+c|>|z|, so the
  311. sequence is increasing.  (It takes a bit more work to prove it is unbounded
  312. and diverges.) Also, note that z1=c, so if |c|>2, the sequence diverges.
  313.  
  314. Q6e: How can I speed up Mandelbrot set generation?
  315. A6e: See the information on speed below (see "Fractint").  Also see:
  316.  
  317. 1.  R. Rojas, A Tutorial on Efficient Computer Graphic Representations of the
  318. Mandelbrot Set, _Computers and Graphics_ 15, 1 (1991), pp. 91-100.
  319.  
  320. Q6f: What is the area of the Mandelbrot set?
  321. A6f: Ewing and Schober computed an area estimate using 240,000 terms of the
  322. Laurent series.  The result is 1.7274...  However, the Laurent series
  323. converges very slowly, so this is a poor estimate. A project to measure the
  324. area via counting pixels on a very dense grid shows an area around 1.5066.
  325. (Contact mrob@world.std.com for more information.) Hill and Fisher used
  326. distance estimation techniques to rigorously bound the area and found the area
  327. is between 1.503 and 1.5701.
  328.  
  329. References:
  330.  
  331. 1.  J. H. Ewing and G. Schober, The Area of the Mandelbrot Set, _Numer. Math._
  332. 61 (1992), pp. 59-72.
  333.  
  334. 2.  Y. Fisher and J. Hill, Bounding the Area of the Mandelbrot Set,
  335. _Numerische Mathematik_, .  (Submitted for publication).  Available by ftp:
  336. legendre.ucsd.edu:/pub/Research/Fischer/area.ps.Z ..
  337.  
  338.  
  339. Q6g: What can you say about the structure of the Mandelbrot set?
  340. A6g: Most of what you could want to know is in Branner's article in _Chaos and
  341. Fractals: The Mathematics Behind the Computer Graphics_.
  342.  
  343. Note that the Mandelbrot set in general is _not_ strictly self-similar; the
  344. tiny copies of the Mandelbrot set are all slightly different, mainly because
  345. of the thin threads connecting them to the main body of the Mandelbrot set.
  346. However, the Mandelbrot set is quasi-self-similar.  The Mandelbrot set is
  347. self-similar under magnification in neighborhoods of Misiurewicz points,
  348. however (e.g. -.1011+.9563i).  The Mandelbrot set is conjectured to be self-
  349. similar around generalized Feigenbaum points (e.g.  -1.401155 or
  350. -.1528+1.0397i), in the sense of converging to a limit set.  References:
  351.  
  352. 1.  T. Lei, Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets,
  353. _Communications in Mathematical Physics_ 134 (1990), pp. 587-617.
  354.  
  355. 2.  J. Milnor, Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set, in
  356. _Computers in Geometry and Topology_, M. Tangora (editor), Dekker, New York,
  357. pp. 211-257.
  358.  
  359. The "external angles" of the Mandelbrot set (see Douady and Hubbard or brief
  360. sketch in "Beauty of Fractals") induce a Fibonacci partition onto it.
  361.  
  362. The boundary of the Mandelbrot set and the Julia set of a generic c in M have
  363. Hausdorff dimension 2 and have topological dimension 1.  The proof is based on
  364. the study of the bifurcation of parabolic periodic points.  (Since the
  365. boundary has empty interior, the topological dimension is less than 2, and
  366. thus is 1.) Reference:
  367.  
  368. 1.  M. Shishikura, The Hausdorff Dimension of the Boundary of the Mandelbrot
  369. Set and Julia Sets, The paper is available from anonymous ftp:
  370. math.sunysb.edu:/preprints/ims91-7.ps.Z [129.49.18.1]..
  371.  
  372. Q6h: Is the Mandelbrot set connected?
  373. A6h: The Mandelbrot set is simply connected.  This follows from a theorem of
  374. Douady and Hubbard that there is a conformal isomorphism from the complement
  375. of the Mandelbrot set to the complement of the unit disk.  (In other words,
  376. all equipotential curves are simple closed curves.) It is conjectured that the
  377. Mandelbrot set is locally connected, and thus pathwise connected, but this is
  378. currently unproved.
  379.  
  380. Connectedness definitions:
  381.  
  382. Connected: X is connected if there are no proper closed subsets A and B of X
  383. such that A union B = X, but A intersect B is empty.  I.e. X is connected if
  384. it is a single piece.
  385.  
  386. Simply connected: X is simply connected if it is connected and every closed
  387. curve in X can be deformed in X to some constant closed curve.  I.e. X is
  388. simply connected if it has no holes.
  389.  
  390. Locally connected: X is locally connected if for every point p in X, for every
  391. open set U containing p, there is an open set V containing p and contained in
  392. the connected component of p in U.  I.e. X is locally connected if every
  393. connected component of every open subset is open in X.
  394.  
  395. Arcwise (or path) connected: X is arcwise connected if every two points in X
  396. are joined by an arc in X.
  397.  
  398. (The definitions are from _Encyclopedic Dictionary of Mathematics_.)
  399.  
  400. ------------------------------
  401.  
  402. Subject: Julia sets
  403.  
  404. Q7a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?
  405. A7a: The Mandelbrot set iterates z^2+c with z starting at 0 and varying c.
  406. The Julia set iterates z^2+c for fixed c and varying starting z values.  That
  407. is, the Mandelbrot set is in parameter space (c-plane) while the Julia set is
  408. in dynamical or variable space (z-plane).
  409.  
  410. Q7b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?
  411. A7b: Each point c in the Mandelbrot set specifies the geometric structure of
  412. the corresponding Julia set.  If c is in the Mandelbrot set, the Julia set
  413. will be connected.  If c is not in the Mandelbrot set, the Julia set will be a
  414. Cantor dust.
  415.  
  416. You can see an example Julia set on the WWW at
  417. gopher://life.anu.edu.au:70/I9/.WWW/complex_systems/julia.gif .
  418.  
  419. Q7c: How is a Julia set actually computed?
  420. A7c: The Julia set can be computed by iteration similar to the Mandelbrot
  421. computation.  The only difference is that the c value is fixed and the initial
  422. z value varies.
  423.  
  424. Alternatively, points on the boundary of the Julia set can be computed quickly
  425. by using inverse iterations.  This technique is particularly useful when the
  426. Julia set is a Cantor Set.  In inverse iteration, the equation z1 = z0^2+c is
  427. reversed to give an equation for z0: z0 = +- sqrt(z1-c).  By applying this
  428. equation repeatedly, the resulting points quickly converge to the Julia set
  429. boundary.  (At each step, either the postive or negative root is randomly
  430. selected.)  This is a nonlinear iterated function system. In pseudocode:
  431. z = 1 (or any value)
  432. loop
  433.    if (random number < .5) then
  434.       z = sqrt(z-c)
  435.    else
  436.       z =-sqrt(z-c)
  437.    endif
  438.    plot z
  439. end loop
  440.  
  441. Q7d: What are some Julia set facts?
  442. A7d: The Julia set of any rational map of degree greater than one is perfect
  443. (hence in particular uncountable and nonempty), completely invariant, equal to
  444. the Julia set of any iterate of the function, and also is the boundary of the
  445. basin of attraction of every attractor for the map.
  446.  
  447. Julia set references:
  448.  
  449. 1.  A. F. Beardon, _Iteration of Rational Functions : Complex Analytic
  450. Dynamical Systems_, Springer-Verlag, New York, 1991.
  451.  
  452. 2.  P. Blanchard, Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere, _Bull. of
  453. the Amer. Math. Soc_ 11, 1 (July 1984), pp. 85-141.  This article is a
  454. detailed discussion of the mathematics of iterated complex functions. It
  455. covers most things about Julia sets of rational polynomial functions.
  456.  
  457. ------------------------------
  458.  
  459. Subject: Complex arithmetic and quaternion arithmetic
  460.  
  461. Q8a: How does complex arithmetic work?
  462. A8a: It works mostly like regular algebra with a couple additional formulas:
  463. (note: a,b are reals, x,y are complex, i is the square root of -1)
  464. Powers of i: i^2 = -1
  465. Addition: (a+i*b)+(c+i*d) = (a+c)+i*(b+d)
  466. Multiplication: (a+i*b)*(c+i*d) = a*c-b*d + i*(a*d+b*c)
  467. Division: (a+i*b)/(c+i*d) = (a+i*b)*(c-i*d)/(c^2+d^2)
  468. Exponentiation: exp(a+i*b) = exp(a)(cos(b)+i*sin(b))
  469. Sine: sin(x) = (exp(i*x)-exp(-i*x))/(2*i)
  470. Cosine: cos(x) = (exp(i*x)+exp(-i*x))/2
  471. Magnitude: |a+i*b| = sqrt(a^2+b^2)
  472. Log: log(a+i*b) = log(|a+i*b|)+i*arctan(b/a) (Note: log is multivalued.)
  473. Log (polar coordinates): log(r*e^(i*theta)) = log(r)+i*theta
  474. Complex powers: x^y = exp(y*log(x))
  475. DeMoivre's theorem: x^a = r^a * [cos(a*theta) + i * sin(a*theta)]
  476. More details can be found in any complex analysis book.
  477.  
  478. Q8b: How does quaternion arithmetic work?
  479. A8b: Quaternions have 4 components (a+ib+jc+kd) compared to the two of complex
  480. numbers.  Operations such as addition and multiplication can be performed on
  481. quaternions, but multiplication is not commutative.  Quaternions satisfy the
  482. rules i^2=j^2=k^2=-1, ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j.
  483.  
  484. ------------------------------
  485.  
  486. Subject: Logistic equation
  487.  
  488. Q9: What is the logistic equation?
  489. A9: It models animal populations.  The equation is x -> c*x*(1-x), where x is
  490. the population (between 0 and 1) and c is a growth constant.  Iteration of
  491. this equation yields the period doubling route to chaos.  For c between 1 and
  492. 3, the population will settle to a fixed value.  At 3, the period doubles to
  493. 2; one year the population is very high, causing a low population the next
  494. year, causing a high population the following year.  At 3.45, the period
  495. doubles again to 4, meaning the population has a four year cycle.  The period
  496. keeps doubling, faster and faster, at 3.54, 3.564, 3.569, and so forth.  At
  497. 3.57, chaos occurs; the population never settles to a fixed period.  For most
  498. c values between 3.57 and 4, the population is chaotic, but there are also
  499. periodic regions.  For any fixed period, there is some c value that will yield
  500. that period.  See "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems" for more
  501. information.
  502.  
  503. ------------------------------
  504.  
  505. Subject: Feigenbaum's constant
  506.  
  507. Q10: What is Feigenbaum's constant?
  508. A10: In a period doubling cascade, such as the logistic equation, consider the
  509. parameter values where period-doubling events occur (e.g. r[1]=3, r[2]=3.45,
  510. r[3]=3.54, r[4]=3.564...).  Look at the ratio of distances between consecutive
  511. doubling parameter values; let delta[n] = (r[n+1]-r[n])/(r[n+2]-r[n+1]).  Then
  512. the limit as n goes to infinity is Feigenbaum's (delta) constant.
  513.  
  514. Based on independent computations by Jay Hill and Keith Briggs, it has the
  515. value 4.669201609102990671853...  Note: several books have published incorrect
  516. values starting 4.66920166...; the last repeated 6 is a typographical error.
  517.  
  518. The interpretation of the delta constant is as you approach chaos, each
  519. periodic region is smaller than the previous by a factor approaching 4.669...
  520. Feigenbaum's constant is important because it is the same for any function or
  521. system that follows the period-doubling route to chaos and has a one-hump
  522. quadratic maximum.  For cubic, quartic, etc. there are different Feigenbaum
  523. constants.
  524.  
  525. Feigenbaum's alpha constant is not as well known; it has the value
  526. 2.502907875095.  This constant is the scaling factor between x values at
  527. bifurcations.  Feigenbaum says, "Asymptotically, the separation of adjacent
  528. elements of period-doubled attractors is reduced by a constant value [alpha]
  529. from one doubling to the next".  If d[n] is the algebraic distance between
  530. nearest elements of the attractor cycle of period 2^n, then d[n]/d[n+1]
  531. converges to -alpha.
  532.  
  533. References:
  534.  
  535. 1.  K. Briggs, How to calculate the Feigenbaum constants on your PC, _Aust.
  536. Math.  Soc.  Gazette_ 16 (1989), p. 89.
  537.  
  538. 2.  K. Briggs, A precise calculation of the Feigenbaum constants, _Mathematics
  539. of Computation_ 57 (1991), pp. 435-439.
  540.  
  541. 3.  K. Briggs, G. R. W. Quispel and C. Thompson, Feigenvalues for Mandelsets,
  542. _J. Phys._ A24 (1991), pp. 3363-3368.
  543.  
  544. 4.  M. Feigenbaum, The Universal Metric Properties of Nonlinear
  545. Transformations, _J. Stat. Phys_ 21 (1979), p. 69.
  546.  
  547. 5.  M. Feigenbaum, Universal Behaviour in Nonlinear Systems, _Los Alamos Sci_
  548. 1 (1980), pp. 1-4.  Reprinted in _Universality in Chaos_ , compiled by P.
  549. Cvitanovic.
  550.  
  551. ------------------------------
  552.  
  553. Subject: Iterated function systems and compression
  554.  
  555. Q11a: What is an iterated function system (IFS)?
  556. A11a: If a fractal is self-similar, you can specify mappings that map the
  557. whole onto the parts.  Iteration of these mappings will result in convergence
  558. to the fractal attractor.  An IFS consists of a collection of these (usually
  559. affine) mappings.  If a fractal can be described by a small number of
  560. mappings, the IFS is a very compact description of the fractal.  An iterated
  561. function system is By taking a point and repeatedly applying these mappings
  562. you end up with a collection of points on the fractal.  In other words,
  563. instead of a single mapping x -> F(x), there is a collection of (usually
  564. affine) mappings, and random selection chooses which mapping is used.
  565.  
  566. For instance, the Sierpinski triangle can be decomposed into three self-
  567. similar subtriangles.  The three contractive mappings from the full triangle
  568. onto the subtriangles forms an IFS.  These mappings will be of the form
  569. "shrink by half and move to the top, left, or right".
  570.  
  571. Iterated function systems can be used to make things such as fractal ferns and
  572. trees and are also used in fractal image compression.  _Fractals Everywhere_
  573. by Barnsley is mostly about iterated function systems.
  574.  
  575. The simplest algorithm to display an IFS is to pick a starting point, randomly
  576. select one of the mappings, apply it to generate a new point, plot the new
  577. point, and repeat with the new point.  The displayed points will rapidly
  578. converge to the attractor of the IFS.
  579.  
  580. An IFS fractal fern can be viewed on the WWW at
  581. gopher://life.anu.edu.au:70/I9/.WWW/complex_systems/fern.gif .
  582.  
  583. Q11b: What is the state of fractal compression?
  584. A11b: Fractal compression is quite controversial, with some people claiming it
  585. doesn't work well, and others claiming it works wonderfully.  The basic idea
  586. behind fractal image compression is to express the image as an iterated
  587. function system (IFS).  The image can then be displayed quickly and zooming
  588. will generate infinite levels of (synthetic) fractal detail.  The problem is
  589. how to efficiently generate the IFS from the image.
  590.  
  591. Barnsley, who invented fractal image compression, has a patent on fractal
  592. compression techniques (4,941,193).  Barnsley's company, Iterated Systems Inc,
  593. has a line of products including a Windows viewer, compressor, magnifier
  594. program, and hardware assist board.
  595.  
  596. Fractal compression is covered in detail in the comp.compression FAQ file
  597. (See "compression-faq").  Ftp: rtfm.mit.edu:/pub/usenet/comp.compression
  598. [18.70.0.209].
  599.  
  600. Two books describing fractal image compression are:
  601.  
  602. 1.  M. Barnsley, _Fractals Everywhere_, Academic Press Inc., 1988.  ISBN 0-
  603. 12-079062-9.  This is an excellent text book on fractals.  This is probably
  604. the best book for learning about the math underpinning fractals. It is also a
  605. good source for new fractal types.
  606.  
  607. 2.  M. Barnsley and L. Hurd, _Fractal Image Compression_, Jones and Bartlett.
  608. ISBN 0-86720-457-5. This book explores the science of the fractal transform in
  609. depth. The authors begin with a foundation in information theory and present
  610. the technical background for fractal image compression. In so doing, they
  611. explain the detailed workings of the fractal transform. Algorithms are
  612. illustrated using source code in C.
  613.  
  614. The October 1993 issue of Byte discussed fractal compression.  You can ftp
  615. sample code: ftp.uu.net:/published/byte/93oct/fractal.exe .
  616.  
  617. An introductory paper is:
  618.  
  619. 1.  A. E. Jacquin, Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated
  620. Contractive Image Transformation, _IEEE Transactions on Image Processing_,
  621. January 1992.
  622.  
  623. A fractal decompression demo program is available by anonymous ftp:
  624. lyapunov.ucsd.edu:/pub/inls-ucsd/fractal-2.0 [132.239.86.10].
  625.  
  626. Another MS-DOS compression demonstration program is available by anonymous
  627. ftp: lyapunov.ucsd.edu:/pub/young-fractal .
  628.  
  629. A site with information on fractal compression is
  630. legendre.ucsd.edu:/pub/Research/Fisher .  On the WWW you can access
  631. file://legendre.ucsd.edu/pub/Research/Fisher/fractal.html .
  632.  
  633. ------------------------------
  634.  
  635. Subject: Chaotic demonstrations
  636.  
  637. Q12a: How can you make a chaotic oscillator?
  638. A12a: Two references are:
  639.  
  640. 1.  T. S. Parker and L. O. Chua, Chaos: a tutorial for engineers, _Proceedings
  641. IEEE_ 75 (1987), pp. 982-1008.
  642.  
  643. 2.  _New Scientist_, June 30, 1990, p. 37.
  644.  
  645. Q12b: What are laboratory demonstrations of chaos?
  646. A12b: Robert Shaw at UC Santa Cruz experimented with chaos in dripping taps.
  647. This is described in:
  648.  
  649. 1.  J. P. Crutchfield, Chaos, _Scientific American_ 255, 6 (Dec. 1986), pp.
  650. 38-49.
  651.  
  652. 2.  I. Stewart, _Does God Play Dice?: the Mathematics of Chaos_, B. Blackwell,
  653. New York, 1989.
  654.  
  655. Two references to other laboratory demonstrations are:
  656.  
  657. 1.  K. Briggs, Simple Experiments in Chaotic Dynamics, _American Journal of
  658. Physics_ 55, 12 (Dec 1987), pp. 1083-1089.
  659.  
  660. 2.  J. L. Snider, Simple Demonstration of Coupled Oscillations, _American
  661. Journal of Physics_ 56, 3 (Mar 1988), p. 200.
  662.  
  663. ------------------------------
  664.  
  665. Subject: L-Systems
  666.  
  667. Q13: What are L-systems?
  668. A13: A L-system or Lindenmayer system is a formal grammar for generating
  669. strings.  (That is, it is a collection of rules such as replace X with XYX.)
  670. By recursively applying the rules of the L-system to an initial string, a
  671. string with fractal structure can be created.  Interpreting this string as a
  672. set of graphical commands allows the fractal to be displayed.  L-systems are
  673. very useful for generating realistic plant structures.
  674.  
  675. Some references are:
  676.  
  677. 1.  P. Prusinkiewicz and J. Hanan, _Lindenmayer Systems, Fractals, and
  678. Plants_, Springer-Verlag, New York, 1989.
  679.  
  680. 2.  P. Prusinkiewicz and A. Lindenmayer, _The Algorithmic Beauty of Plants_,
  681. Springer-Verlag, NY, 1990.  ISBN 0-387-97297-8. A very good book on L-systems,
  682. which can be used to model plants in a very realistic fashion.  The book
  683. contains many pictures.
  684.  
  685. More information can be obtained via the WWW at
  686. http://life.anu.edu.au/complex_systems/tutorial2.html and a L-system leaf can
  687. be viewed at gopher://life.anu.edu.au:70/I9/.WWW/complex_systems/leaf.gif .
  688.  
  689. ------------------------------
  690.  
  691. Subject: Fractal music
  692.  
  693. Q14: What is some information on fractal music?
  694. A14: One fractal recording is "The Devil's Staircase: Composers and Chaos" on
  695. the Soundprint label.
  696.  
  697. Some references, many from an unpublished article by Stephanie Mason, are:
  698.  
  699. 1.  R. Bidlack, Chaotic Systems as Simple (But Complex) Compositional
  700. Algorithms, _Computer Music Journal_, Fall 1992.
  701.  
  702. 2.  C. Dodge, A Musical Fractal, _Computer Music Journal_ 12, 13 (Fall 1988),
  703. p. 10.
  704.  
  705. 3.  K. J. Hsu and A. Hsu, Fractal Geometry of Music, _Proceedings of the
  706. National Academy of Science, USA_ 87 (1990), pp. 938-941.
  707.  
  708. 4.  K. J. Hsu and A. Hsu, Self-similatrity of the '1/f noise' called music.,
  709. _Proceedings of the National Academy of Science USA_ 88 (1991), pp. 3507-3509.
  710.  
  711. 5.  C. Pickover, _Mazes for the Mind: Computers and the Unexpected_, St.
  712. Martin's Press, New York, 1992.
  713.  
  714. 6.  P. Prusinkiewicz, Score Generation with L-Systems, _International Computer
  715. Music Conference 86 Proceedings_, 1986, pp. 455-457.
  716.  
  717. 7.  _Byte_ 11, 6 (June 1986), pp. 185-196.
  718.  
  719. A IBM-PC program for fractal music is available by ftp to spanky.triumf.ca
  720. [142.90.112.1] in [pub.fractals.programs.ibmpc] WTF23.ZIP.
  721.  
  722.  
  723. ------------------------------
  724.  
  725. Subject: Fractal mountains
  726.  
  727. Q15: How are fractal mountains generated?
  728. A15: Usually by a method such as taking a triangle, dividing it into 3
  729. subtriangles, and perturbing the center point.  This process is then repeated
  730. on the subtriangles.  This results in a 2-d table of heights, which can then
  731. be rendered as a 3-d image.  One reference is:
  732.  
  733. 1.  M. Ausloos, _Proc. R. Soc. Lond. A_ 400 (1985), pp. 331-350.
  734.  
  735. ------------------------------
  736.  
  737. Subject: Plasma clouds
  738.  
  739. Q16: What are plasma clouds?
  740. A16: They are a Fractint fractal and are similar to fractal mountains.
  741. Instead of a 2-d table of heights, the result is a 2-d table of intensities.
  742. They are formed by repeatedly subdividing squares.
  743.  
  744. ------------------------------
  745.  
  746. Subject: Lyapunov fractals
  747.  
  748. Q17a: Where are the popular periodically-forced Lyapunov fractals described?
  749. A17a: See:
  750.  
  751. 1.  A. K. Dewdney, Leaping into Lyapunov Space, _Scientific American_, Sept.
  752. 1991, pp. 178-180.
  753.  
  754. 2.  M. Markus and B. Hess, Lyapunov Exponents of the Logistic Map with
  755. Periodic Forcing, _Computers and Graphics_ 13, 4 (1989), pp. 553-558.
  756.  
  757. 3.  M. Markus, Chaos in Maps with Continuous and Discontinuous Maxima,
  758. _Computers in Physics_, Sep/Oct 1990, pp. 481-493.
  759.  
  760. Q17b: What are Lyapunov exponents?
  761. A17b:
  762.  
  763. Lyapunov exponents quantify the amount of linear stability or instability of
  764. an attractor, or an asymptotically long orbit of a dynamical system.  There
  765. are as many lyapunov exponents as there are dimensions in the state space of
  766. the system, but the largest is usually the most important.
  767.  
  768. Given two initial conditions for a chaotic system, a and b, which are close
  769. together, the average values obtained in successive iterations for a and b
  770. will differ by an exponentially increasing amount.  In other words, the two
  771. sets of numbers drift apart exponentially.  If this is written e^(n*(lambda))
  772. for n iterations, then e^(lambda) is the factor by which the distance between
  773. closely related points becomes stretched or contracted in one iteration.
  774. Lambda is the Lyapunov exponent.  At least one Lyapunov exponent must be
  775. positive in a chaotic system.  A simple derivation is available in:
  776.  
  777. 1.  H. G. Schuster, _Deterministic Chaos: An Introduction_, Physics Verlag,
  778. 1984.
  779.  
  780. Q17c: How can Lyapunov exponents be calculated?
  781. A17c: For the common periodic forcing pictures, the lyapunov exponent is:
  782.  
  783. lambda = limit as N->infinity of 1/N times sum from n=1 to N of log2(abs(dx
  784. sub n+1 over dx sub n))
  785.  
  786. In other words, at each point in the sequence, the derivative of the iterated
  787. equation is evaluated.  The Lyapunov exponent is the average value of the log
  788. of the derivative.  If the value is negative, the iteration is stable.  Note
  789. that summing the logs corresponds to multiplying the derivatives; if the
  790. product of the derivatives has magnitude < 1, points will get pulled closer
  791. together as they go through the iteration.
  792.  
  793. MS-DOS and Unix programs for estimating Lyapunov exponents from short time
  794. series are available by ftp: lyapunov.ucsd.edu:/pub/ncsu .
  795.  
  796. Computing Lyapunov exponents in general is more difficult.  Some references
  797. are:
  798.  
  799. 1.  H. D. I. Abarbanel, R. Brown and M. B. Kennel, Lyapunov Exponents in
  800. Chaotic Systems: Their importance and their evaluation using observed data,
  801. _International Journal of Modern Physics B_ 56, 9 (1991), pp. 1347-1375.
  802.  
  803. 2.  A. K. Dewdney, Leaping into Lyapunov Space, _Scientific American_, Sept.
  804. 1991, pp. 178-180.
  805.  
  806. 3.  M. Frank and T. Stenges, _Journal of Economic Surveys_ 2 (1988), pp. 103-
  807. 133.
  808.  
  809. 4.  T. S. Parker and L. O. Chua, _Practical Numerical Algorithms for Chaotic
  810. Systems_, Springer Verlag, 1989.
  811.  
  812. ------------------------------
  813.  
  814. Subject: Fractal items
  815.  
  816. Q18: Where can I get fractal T-shirts and posters?
  817. A18: One source is Art Matrix, P.O. box 880, Ithaca, New York, 14851, 1-800-
  818. PAX-DUTY.  Another source is Media Magic; they sell many fractal posters,
  819. calendars, videos, software, t-shirts, ties, and a huge variety of books on
  820. fractals, chaos, graphics, etc.  Media Magic is at PO Box 598 Nicasio, CA
  821. 94946, 415-662-2426.  A third source is Ultimate Image; they sell fractal t-
  822. shirts, posters, gift cards, and stickers.  Ultimate Image is at PO Box 7464,
  823. Nashua, NH 03060-7464.
  824.  
  825. ------------------------------
  826.  
  827. Subject: How can I take photos of fractals?
  828.  
  829. Q19: How can I take photos of fractals?
  830. A19: Noel Giffin gets good results with the following setup:
  831. Use 100 asa Kodak gold for prints or 64 asa for slides.
  832. Use a long lens (100mm) to flatten out the field of view and minimize screen
  833. curvature.  Use f4 stop.
  834. Shutter speed must be longer than frame rate to get a complete image; 1/4
  835. seconds works well.
  836. Use a tripod and cable release or timer to get a stable picture.  The room
  837. should be completely blackened, with no light, to prevent glare and to prevent
  838. the monitor from showing up in the picture.
  839.  
  840. You can also obtain high quality images by sending your targa or gif images to
  841. a commercial graphics imaging shop.  They can provide much higher resolution
  842. images.  Prices are about $10 for a 35mm slide or negative and about $50 for a
  843. high quality 4x5 negative.
  844.  
  845. ------------------------------
  846.  
  847. Subject: 3-D fractals
  848.  
  849. Q20: How can 3-D fractals be generated?
  850. A20: A common source for 3-D fractals is to compute Julia sets with
  851. quaternions instead of complex numbers.  The resulting Julia set is four
  852. dimensional.  By taking a slice through the 4-D Julia set (e.g. by fixing one
  853. of the coordinates), a 3-D object is obtained.  This object can then be
  854. displayed using computer graphics techniques such as ray tracing.
  855.  
  856. The papers to read on this are:
  857.  
  858. 1.  J. Hart, D. Sandin and L. Kauffman, Ray Tracing Deterministic 3-D
  859. Fractals, _SIGGRAPH_, 1989, pp. 289-296.
  860.  
  861. 2.  A. Norton, Generation and Display of Geometric Fractals in 3-D,
  862. _SIGGRAPH_, 1982, pp. 61-67.
  863.  
  864. 3.  A. Norton, Julia Sets in the Quaternions, _Computers and Graphics,_ 13, 2
  865. (1989), pp. 267-278.  Two papers on cubic polynomials, which can be used to
  866. generate 4-D fractals:
  867.  
  868. 1.  B. Branner and J. Hubbard, The iteration of cubic polynomials, part I.,
  869. _Acta Math_ 66 (1988), pp. 143-206.
  870.  
  871. 2.  J. Milnor, Remarks on iterated cubic maps, This paper is available from
  872. anonymous ftp: math.sunysb.edu:/preprints/ims90-6.ps.Z . Published in 1991
  873. SIGGRAPH Course Notes #14: Fractal Modeling in 3D Computer Graphics and
  874. Imaging.
  875.  
  876. Instead of quaternions, you can of course use other functions.  For instance,
  877. you could use a map with more than one parameter, which would generate a
  878. higher-dimensional fractal.
  879.  
  880. Another way of generating 3-D fractals is to use 3-D iterated function systems
  881. (IFS).  These are analogous to 2-D IFS, except they generate points in a 3-D
  882. space.
  883.  
  884. A third way of generating 3-D fractals is to take a 2-D fractal such as the
  885. Mandelbrot set, and convert the pixel values to heights to generate a 3-D
  886. "Mandelbrot mountain".  This 3-D object can then be rendered with normal
  887. computer graphics techniques.
  888.  
  889. ------------------------------
  890.  
  891. Subject: Fractint
  892.  
  893. Q21a: What is Fractint?  *A: Fractint is a very popular freeware (not public
  894. domain) fractal generator.  There are DOS, Windows, OS/2, and Unix/X versions.
  895. The DOS version is the original version, and is the most up-to-date.  There is
  896. a new Amiga version.
  897.  
  898. Please note: sci.fractals is not a product support newsgroup for Fractint.
  899. Bugs in Fractint/Xfractint should usually go to the authors rather than being
  900. posted.
  901.  
  902. Fractint is on many ftp sites.  For example:
  903. DOS: ftp from wuarchive.wustl.edu:/mirrors/msdos/graphics [128.252.135.4].
  904.     The source is in the file frasr182.zip.  The executable is in the file
  905.     frain182.zip.  (The suffix 182 will change as new versions are released.)
  906.     Fractint is available on Compuserve: GO GRAPHDEV and look for FRAINT.EXE
  907.     and FRASRC.EXE in LIB 4.
  908. There is a collection of map, parameter, etc. files for Fractint, called
  909.     FracXtra.  Ftp from wuarchive.wustl.edu:/pub/MSDOS_UPLOADS/graphics.  File
  910.     is fracxtr5.zip.
  911. Windows: ftp to wuarchive.wustl.edu:/mirrors/msdos/window3 .  The source is in
  912.     the file winsr1821.zip.  The executable is in the file winfr1821.zip.
  913. OS/2: available on Compuserve in its GRAPHDEV forum.  The files are PM*.ZIP.
  914.     These files are also available by ftp:
  915.     ftp-os2.nmsu.edu:/pub/os2/2.0/graphics in pmfra2.zip.
  916. Unix: ftp to sprite.berkeley.edu [128.32.150.27].  The source is in the file
  917.     xfract203.shar.Z.  Note: sprite is an unreliable machine; if you can't
  918.     connect to it, try again in a few hours, or try hijack.berkeley.edu.
  919.     Xfractint is also available in LIB 4 of Compuserve's GO GRAPHDEV forum in
  920.     XFRACT.ZIP.
  921. Macintosh: there is no Macintosh version of Fractint, although there are
  922.     several people working on a port. It is possible to run Fractint on the
  923.     Macintosh if you use Insignia Software's SoftAT, which is a PC AT
  924.     emulator.
  925. Amiga: There is an Amiga version at wuarchive.wustl.edu:/pub/aminet/gfx/fract
  926.     .
  927.  
  928. For European users, these files are available from ftp.uni-koeln.de.  If you
  929. can't use ftp, see the mail server information below.
  930.  
  931. Q21a: How does Fractint achieve its speed?
  932. A21a: Fractint's speed (such as it is) is due to a combination of:
  933.  
  934. 1. Using fixed point math rather than floating point where possible (huge
  935. improvement for non-coprocessor machine, small for 486's).
  936.  
  937. 2. Exploiting symmetry of the fractal.
  938.  
  939. 3. Detecting nearly repeating orbits, avoid useless iteration (e.g. repeatedly
  940. iterating 0^2+0 etc. etc.).
  941.  
  942. 4. Reducing computation by guessing solid areas (especially the "lake" area).
  943.  
  944. 5. Using hand-coded assembler in many places.
  945.  
  946. 6. Obtaining both sin and cos from one 387 math coprocessor instruction.
  947.  
  948. 7. Using good direct memory graphics writing in 256-color modes.
  949.  
  950. The first four are probably the most important. Some of these introduce
  951. errors, usually quite acceptable.
  952.  
  953. ------------------------------
  954.  
  955. Subject: Fractal software
  956.  
  957. Q21b: Where can I obtain software packages to generate fractals?
  958. A21b:
  959. For X windows:
  960.     xmntns and xlmntn: these generate fractal mountains.  They can be obtained
  961.         from ftp: ftp.uu.net:/usenet/comp.sources.x/volume8/xmntns
  962.         [137.39.1.9].
  963.     xfroot: generates a fractal root window.
  964.     xmartin: generates a Martin hopalong root window.
  965.     xmandel: generates Mandelbrot/Julia sets.
  966.     xfroot, xmartin, xmandel are part of the X11 distribution.
  967.     lyap: generates Lyapunov exponent images.  Ftp from:
  968.         ftp.uu.net:/usenet/comp.sources.x/volume17/lyapunov-xlib .
  969.     spider: Uses Thurston's algorithm for computing postcritically finite
  970.         polynomials, draws Mandelbrot and Julia sets using the Koebe
  971.         algorithm, and draws Julia set external angles.  Ftp from:
  972.         lyapunov.ucsd.edu:pub/inls-ucsd/spider .
  973.     xfractal: fractal drawing program.  Ftp from: clio.rz.uni-
  974.         duesseldorf.de:/X11/uploads [134.99.128.3].
  975.  
  976. Distributed X systems:
  977.     MandelSpawn: computes Mandelbrot/Julia sets on a network of machines.  Ftp
  978.         from: export.lcs.mit.edu:/contrib [18.24.0.12] or
  979.         funic.funet.fi:/pub/X11/contrib [128.214.6.100] in mandelspawn-
  980.         0.06.tar.Z.
  981.     gnumandel: computes Mandelbrot images on a network.  Ftp from:
  982.         informatik.tu-muenchen.de:/pub/GNU/gnumandel [131.159.0.110].
  983.  
  984. For SunView:
  985.     Mandtool: A Mandelbrot computing program.  Ftp from:
  986.         spanky.triumf.ca:/fractals/programs/mandtool ; code is in M_TAR.Z .
  987.  
  988. For Unix/C:
  989.     lsys: generates L-systems as PostScript or other textual output. No
  990.         graphical interface at present. (in C++) Ftp from:
  991.         ftp.cs.unc.edu:/pub/lsys.tar.Z .
  992.     lyapunov: generates PGM Lyapunov exponent images.  Ftp from:
  993.         ftp.uu.net:/usenet/comp.sources.misc/volume23/lyapuov .  SPD: contains
  994.         generators for fractal mountain, tree, recursive tetrahedron.  Ftp
  995.         from: princeton.edu:/pub/Graphics [128.112.128.1].
  996.     Fractal Studio: Mandelbrot set program; handles distributed computing.
  997.         Ftp from archive.cs.umbc.edu:/pub/peter/fractal-studio
  998.         [130.85.100.53].
  999.  
  1000. For Mac:
  1001.     LSystem, 3D-L-System, IFS, FracHill, Mandella and a bunch of others are
  1002.         available from uceng.uc.edu:/pub/wuarchive/edu/math/mac/fractals
  1003.         [129.137.189.1].
  1004.     fractal-wizard.hqx, julias-dream-107.hqx, mandella-87.hqx, and others are
  1005.         under app in the info-mac archive: sumex-aim.stanford.edu:/info-mac
  1006.         [36.44.0.6], or a mirror such as
  1007.         plaza.aarnet.edu.au:/micros/mac/info-mac [139.130.4.6].
  1008.     mandel-tv: a very fast Mandelbrot generator.  Under sci at info-mac.
  1009.     There are also commercial programs, such as IFS Explorer and Fractal Clip
  1010.     Art, which are published by Koyn Software (314) 878-9125.
  1011.  
  1012. For NeXT:
  1013.     Lyapunov: generates Lyapunov exponent images.  Ftp from:
  1014.         nova.cc.purdue.edu:/pub/next/2.0-release/source .
  1015.  
  1016. For MSDOS:
  1017.     DEEPZOOM: a high-precision Mandelbrot program for displaying highly zoomed
  1018.         fractals.  Obtain from hilljr@jupiter.saic.com .
  1019.     Fractal WitchCraft: a very fast fractal design program.  Ftp from:
  1020.         garbo.uwasa.fi:/pc/demo/fw1-08.zip [128.214.87.1].
  1021.     CAL: generates more than 15 types of fractals including Mandelbrot,
  1022.         Lyapunov, IFS, user-defined formulas, logistic equation, and
  1023.         quaternion julia sets.  Ftp from: oak.oakland.edu:/pub/msdos/graphics
  1024.         [141.210.10.117] (or any other Simtel mirror) in frcal035.zip.
  1025.     Fractal Discovery Laboratory: designed for use in a science museum or
  1026.         school setting.  The Lab has five sections: Art Gallery ( 72 images --
  1027.         Mandelbrots, Julias, Lyapunovs), Microscope ( 85 images -- Biomorph,
  1028.         Mandelbrot, Lyapunov, ...), Movies (165 images, 6 "movies":
  1029.         Mandelbrot Evolution, Splitting a Mini-Mandelbrot, Fractal UFO, ...),
  1030.         Tools (Gingerbreadman, Lorentz Equations, Fractal Ferns, von Koch
  1031.         Snowflake, Sierpinski Gasket), and Library (Dictionary, Books and
  1032.         Articles).  Sampler available from Compuserver GRAPHDEV Lib 4 in
  1033.         DISCOV.ZIP, or send high-density disk and self-addressed, stamped
  1034.         envelope to: Earl F. Glynn, 10808 West 105th Street, Overland Park,
  1035.         Kansas 66214-3057.
  1036.     WL-Plot: plots functions including bifurcations and recursive relations.
  1037.         Ftp from wuarchive.wustl.edu:/pub/msdos_uploads/misc in wlplt231.zip.
  1038.     There are many fractal programs available from
  1039.         oak.oakland.edu:/pub/msdos/graphics [141.210.10.117]:
  1040.         forb01a.zip: Displays orbits of Mandelbrot mapping. C/E/VGA
  1041.             fract30.arc: Mandelbrot/Julia set 2D/3D EGA/VGA Fractal Gen
  1042.             fractfly.zip: Create Fractal flythroughs with FRACTINT
  1043.             fdesi313.zip: Program to visually design IFS fractals
  1044.             frain182.zip: FRACTINT v18.1 EGA/VGA/XGA fractal generator
  1045.             frasr182.zip: C & ASM src for FRACTINT v18.1 fractal gen.
  1046.             frcal040.zip: Fractal drawing program: 15 formulae available
  1047.             frcaldmo.zip: 800x600x256 demo images for FRCAL030.ZIP
  1048.  
  1049. For Windows:
  1050.     dy-syst.zip.  This program explores Newton's method, Mandelbrot set, and
  1051.         Julia sets.  Ftp from mathcs.emory.edu:/pub/riddle .
  1052.  
  1053. For Amiga: (all entries marked "ff###" are .lzh files in the Fish Disk set
  1054.     available at ux1.cso.uiuc.edu:/amiga/fish and other sites)
  1055.     General Mandelbrot generators with many features: Mandelbrot (ff030),
  1056.         Mandel (ff218), Mandelbrot (ff239), TurboMandel (ff302), MandelBltiz
  1057.         (ff387), SMan (ff447), MandelMountains (ff383, in 3-D), MandelPAUG
  1058.         (ff452, MandFXP movies), MandAnim (ff461, anims),  ApfelKiste (ff566,
  1059.         very fast), MandelSquare (ff588, anims)
  1060.     Mandelbrot and Julia sets generators: MandelVroom (ff215), Fractals
  1061.         (ff371, also Newton-R and other sets)
  1062.     With different algorithmic approaches (shown): FastGro (ff188, DLA),
  1063.         IceFrac (ff303, DLA), DEM (ff303, DEM), CPM (ff303, CPM in 3-D),
  1064.         FractalLab (ff391, any equation)
  1065.     Iterated Function System generators (make ferns, etc): FracGen (ff188,
  1066.         uses "seeds"), FCS (ff465), IFSgen (ff554), IFSLab (ff696, "Collage
  1067.         Theorem")
  1068.     Unique fractal types: Cloud (ff216, cloud surfaces), Fractal (ff052,
  1069.         terrain), IMandelVroom (strange attractor contours?), Landscape
  1070.         (ff554, scenery), Scenery (ff155, scenery), Plasma (ff573, plasma
  1071.         clouds)
  1072.     Fractal generators: PolyFractals (ff015), FFEX (ff549)
  1073.     Lyapunov fractals: Ftp from: ftp.luth.se:/pub/aminet/new/lyapunovia.lha
  1074.         [130.240.18.2].
  1075.     Commercial packages: Fractal Pro 5.0, Scenery Animator 2.0, Vista
  1076.         Professional, Fractuality (reviewed in April '93 Amiga User
  1077.         International).
  1078.     MathVISION 2.4.  Generates Julia, Mandelbrot, and others.  Includes
  1079.         software for image processing, complex arithmetic, data display,
  1080.         general equation evaluation.  Available for $223 from Seven Seas
  1081.         Software, Box 1451, Port Townsend WA 98368.
  1082.  
  1083. Software for computing fractal dimension:
  1084.     Fractal Dimension Calculator is a Macintosh program which uses the box-
  1085.         counting method to compute the fractal dimension of planar graphical
  1086.         objects.  Ftp from:
  1087.         wuarchive.wustl.edu:/mirrors4/architec/Fractals/FracDim.sit.hqx .
  1088.     FD3: estimates capacity, information, and correlation dimension from a
  1089.         list of points.  It computes log cell sizes, counts, log counts, log
  1090.         of Shannon statistics based on counts, log of correlations based on
  1091.         counts, two-point estimates of the dimensions at all scales examined,
  1092.         and over-all least-square estimates of the dimensions.  Ftp from:
  1093.         lyapunov.ucsd.edu:/pub/cal-state-stan [132.239.86.10].  Also look in
  1094.         lyapunov.ucsd.edu:/pub/inls-ucsd for an enhanced Grassberger-Procaccia
  1095.         algorithm for correlation dimension.  A MS-DOS version of FP3 is
  1096.         available by request to gentry@altair.csustan.edu.
  1097.  
  1098.  
  1099. ------------------------------
  1100.  
  1101. Subject: Ftp questions
  1102.  
  1103. Q22: How does anonymous ftp work?
  1104. A22: Anonymous ftp is a method of making files available to anyone on the
  1105. Internet.  In brief, if you are on a system with ftp (e.g. Unix), you type
  1106. "ftp lyapunov.ucsd.edu", or whatever system you wish to access.  You are
  1107. prompted for your name and you reply "anonymous".  You are prompted for your
  1108. password and you reply with your email address.  You then use "ls" to list the
  1109. files, "cd" to change directories, "get" to get files, and "quit" to exit.
  1110. For example, you could say "cd /pub", "ls", "get README", and "quit"; this
  1111. would get you the file "README".  See the man page ftp(1) or ask someone at
  1112. your site for more information.
  1113.  
  1114. In this FAQ file, anonymous ftp addresses are given in the form
  1115. name.of.machine:/pub/path [1.2.3.4].  The first part "name.of.machine" is the
  1116. machine you must ftp to.  If your machine cannot determine the host from the
  1117. name, you can try the numeric Internet address: "ftp 1.2.3.4".  The part after
  1118. the colon: "/pub/path" is the file or directory to access once you are
  1119. connected to the remote machine.
  1120.  
  1121. Q23a: What if I can't use ftp to access files?
  1122. A23a: If you don't have access to ftp because you are on a uucp/Fidonet/etc
  1123. network there is an e-mail gateway at ftpmail@decwrl.dec.com that can retrieve
  1124. the files for you.  To get instructions on how to use the ftp gateway send a
  1125. message to ftpmail@decwrl.dec.com with one line containing the word 'help'.
  1126.  
  1127. ------------------------------
  1128.  
  1129. Subject: Archived pictures
  1130.  
  1131. Q23b: Where are fractal pictures archived?
  1132. A23b: Fractal images (GIFs, etc.) used to be posted to alt.fractals.pictures;
  1133. this newsgroup has been replaced by alt.binaries.pictures.fractals.  Pictures
  1134. from 1990 and 1991 are available via anonymous ftp:
  1135. csus.edu:/pub/alt.fractals.pictures [130.86.90.1].
  1136.  
  1137. Many Mandelbrot set images are available via anonymous ftp:
  1138. ftp.ira.uka.de:/pub/graphics/fractals [129.13.10.93].
  1139.  
  1140. Fractal images including some recent alt.binaries.pictures.fractals images are
  1141. archived at spanky.triumf.ca:/fractals [128.189.128.27].
  1142.  
  1143. Some fractal images are available on the WWW at
  1144. http://www.cnam.fr/fractals.html .  These images are available by ftp:
  1145. ftp.cnam.fr:/pub/Fractals .  Fractal animations in MPG and FLI format are in
  1146. ftp.cnam.fr:/pub/Fractals/anim or http://www.cnam.fr/fractals/anim.html .
  1147. Another collection of fractal images is archived at
  1148. ftp.maths.tcd.ie/pub/images/Computer [134.226.81.10].  Some fractal and other
  1149. computer-generated images are available on the WWW at
  1150. gopher://olt.et.tudelft.nl:1251/11/computer .
  1151.  
  1152. A collection of interesting smoke- and flame-like jpeg iterated function
  1153. system images is available on the WWW at
  1154. http://www.cs.cmu.edu:8001/afs/cs.cmu.edu/user/spot/web/images.html .  Some
  1155. images are also available by ftp: hopeless.mess.cs.cmu.edu:/usr/spot/pub/film
  1156. .
  1157.  
  1158. Q24a: How do I view fractal pictures from alt.binaries.pictures.fractals?
  1159. A24a: A detailed explanation is given in the "alt.binaries.pictures FAQ"
  1160. (see "pictures-faq").  This is posted to the pictures newsgroups and is
  1161. available by ftp: rtfm.mit.edu:/pub/usenet/news.answers/pictures-faq
  1162. [18.70.0.209].
  1163.  
  1164. In brief, there is a series of things you have to do before viewing these
  1165. posted images.  It will depend a little on the system your working with, but
  1166. there is much in common. Some newsreaders have features to automatically
  1167. extract and decode images ready to display ("e" in trn) but if you don't you
  1168. can use the following manual method:
  1169.  
  1170. 1.  Save/append all posted parts sequentially to one file.
  1171.  
  1172. 2. Edit this file and delete all text segments except what is between the
  1173. BEGIN-CUT and END-CUT portions. This means that BEGIN-CUT and END-CUT lines
  1174. will disappear as well. There will be a section to remove for each file
  1175. segment as well as the final END-CUT line.  What is left in the file after
  1176. editing will be bizarre garbage starting with begin 660 imagename.GIF and then
  1177. about 6000 lines all starting with the letter "M" followed by a final "end"
  1178. line.  This is called a uuencoded file.
  1179.  
  1180. 3.  You must uudecode the uuencoded file.  There should be an appropriate
  1181. utility at your site; "uudecode filename" should work under Unix.  Ask a
  1182. system person or knowledgeable programming type.  It will decode the file and
  1183. produce another file called imagename.GIF. This is the image file.
  1184.  
  1185. 4.  You must use another utility to view these GIF images.  It must be capable
  1186. of displaying color graphic images in GIF format.  (If you get a JPG format
  1187. file, you may have to convert it to a GIF file with yet another utility.) In
  1188. the XWindows environment, you may be able to use "xv", "xview", or
  1189. "xloadimage" to view GIF files.  If you aren't using X, then you'll either
  1190. have to find a comparable utility for your system or transfer your file to
  1191. some other system.  You can use a file transfer utility such as Kermit to
  1192. transfer the binary file to an IBM-PC.
  1193.  
  1194. ------------------------------
  1195.  
  1196. Subject: Where can I obtain fractal papers?
  1197.  
  1198. Q24b: Where can I obtain fractal papers?
  1199. A24b: There are several Internet sites with fractal papers:
  1200.  
  1201. There is an ftp archive site for preprints and programs on nonlinear dynamics
  1202. and related subjects at: lyapunov.ucsd.edu:/pub [132.239.86.10].  There are
  1203. also articles on dynamics, including the IMS preprint series, available from
  1204. math.sunysb.edu:/preprints [129.49.31.57].
  1205.  
  1206. A collection of short papers on fractal formulas, drawing methods, and
  1207. transforms is available by ftp: ftp.coe.montana.edu:/pub/fractals (this site
  1208. hasn't been working lately).
  1209.  
  1210. The site life.anu.edu.au [150.203.38.74] has a collection of fractal programs,
  1211. papers, information related to complex systems, and gopher and World Wide Web
  1212. connections.  The ftp path is life.anu.edu.au:/pub/complex_systems ; look in
  1213. fractals, tutorial, and anu92.  The Word Wide Web access is
  1214. "http://life.anu.edu.au/complex_systems/complex.html".  The gopher path is:
  1215. Name=BioInformatics gopher at ANU
  1216. Host=life.anu.edu.au
  1217. Type=1
  1218. Port=70
  1219. Path=1/complex_systems/fractals
  1220.  
  1221. The WWW site http://legendre.ucsd.edu/Research/Fisher/complex.html has some
  1222. fractal papers; they are also available by ftp:
  1223. legendre.ucsd.edu:/pub/Research/Fisher .
  1224.  
  1225. One WWW site listing many other sites related to complex systems is
  1226. http://www.seas.upenn.edu/~ale/cplxsys.html .
  1227.  
  1228. ------------------------------
  1229.  
  1230. Subject: How can I join the BITNET fractal discussion?
  1231.  
  1232. Q25: How can I join the BITNET fractal discussion?
  1233. A25: There is a fractal discussion on BITNET that uses an automatic mail
  1234. server that sends mail to a distribution list.  (On some systems, the contents
  1235. of FRAC-L appear in the Usenet newsgroup bit.listserv.frac-l.) Note that once
  1236. you join, you may have a very difficult time unsubscribing.  To join the
  1237. mailing list, send a message to listserv@gitvm1.gatech.edu with the following
  1238. as text:
  1239. SUBSCRIBE FRAC-L John Doe    (where John Doe is replaced by your name)
  1240. To unsubscribe, send the message:
  1241. UNSUBSCRIBE FRAC-L
  1242. If that doesn't unsubscribe you, you can try:
  1243. SIGNOFF FRAC-L (GLOBAL
  1244. If that doesn't work or you have other problems, you can contact the list
  1245. administrator.  You can obtain their name by sending the message:
  1246. REVIEW FRAC-L
  1247.  
  1248. ------------------------------
  1249.  
  1250. Subject: References
  1251.  
  1252. Q26: What are some general references on fractals and chaos?
  1253. A26: Some references are:
  1254.  
  1255. 1.  M. Barnsley, _Fractals Everywhere_, Academic Press Inc., 1988.  ISBN 0-
  1256. 12-079062-9.  This is an excellent text book on fractals.  This is probably
  1257. the best book for learning about the math underpinning fractals. It is also a
  1258. good source for new fractal types.
  1259.  
  1260. 2.  M. Barnsley and L. Anson, _The Fractal Transform_, Jones and Bartlett,
  1261. April, 1993.  ISBN 0-86720-218-1. This book is a sequel to _Fractals
  1262. Everywhere_. Without assuming a great deal of technical knowledge, the authors
  1263. explain the workings of the Fractal Transform (tm). The Fractal Transform is
  1264. the compression tool for storing high-quality images in a minimal amount of
  1265. space on a computer. Barnsley uses examples and algorithms to explain how to
  1266. transform a stored pixel image into its fractal representation.
  1267.  
  1268. 3.  R. Devaney and L. Keen, eds., _Chaos and Fractals: The Mathematics Behind
  1269. the Computer Graphics_, American Mathematical Society, Providence, RI, 1989.
  1270. This book contains detailed mathematical descriptions of chaos, the Mandelbrot
  1271. set, etc.
  1272.  
  1273. 4.  R. L. Devaney, _An Introduction to Chaotic Dynamical Systems_, Addison-
  1274. Wesley, 1989.  ISBN 0-201-13046-7.  This book introduces many of the basic
  1275. concepts of modern dynamical systems theory and leads the reader to the point
  1276. of current research in several areas. It goes into great detail on the exact
  1277. structure of the logistic equation and other 1-D maps.  The book is fairly
  1278. mathematical using calculus and topology.
  1279.  
  1280. 5.  R. L. Devaney, _Chaos, Fractals, and Dynamics_, Addison-Wesley, 1990.
  1281. ISBN 0-201-23288-X.  This is a very readable book.  It introduces chaos
  1282. fractals and dynamics using a combination of hands-on computer experimentation
  1283. and precalculus math.  Numerous full-color and black and white images convey
  1284. the beauty of these mathematical ideas.
  1285.  
  1286. 6.  R. Devaney, _A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Theory and
  1287. Experiment_, Addison Wesley, 1992.  A nice undergraduate introduction to chaos
  1288. and fractals.
  1289.  
  1290. 7.  G. A. Edgar, _Measure Topology and Fractal Geometry_, Springer- Verlag
  1291. Inc., 1990.  ISBN 0-387-97272-2.  This book provides the math necessary for
  1292. the study of fractal geometry.  It includes the background material on metric
  1293. topology and measure theory and also covers topological and fractal dimension,
  1294. including the Hausdorff dimension.
  1295.  
  1296. 8.  K. Falconer, _Fractal Geometry: Mathematical Foundations and
  1297. Applications_, Wiley, New York, 1990.
  1298.  
  1299. 9.  J. Feder, _Fractals_, Plenum Press, New York, 1988.  This book is
  1300. recommended as an introduction.  It introduces fractals from geometrical
  1301. ideas, covers a wide variety of topics, and covers things such as time series
  1302. and R/S analysis that aren't usually considered.
  1303.  
  1304. 10.  J. Gleick, _Chaos: Making a New Science_, Penguin, New York, 1987.
  1305.  
  1306. 11.  B. Hao, ed., _Chaos_, World Scientific, Singapore, 1984.  This is an
  1307. excellent collection of papers on chaos containing some of the most
  1308. significant reports on chaos such as ``Deterministic Nonperiodic Flow'' by
  1309. E.N.Lorenz.
  1310.  
  1311. 12.  S. Levy, _Artificial life : the quest for a new creation_, Pantheon
  1312. Books, New York, 1992.  This book takes off where Gleick left off.  It looks
  1313. at many of the same people and what they are doing post-Gleick.
  1314.  
  1315. 13.  B. Mandelbrot, _The Fractal Geometry of Nature_, W. H.  FreeMan and Co.,
  1316. New York.  ISBN 0-7167-1186-9.  In this book Mandelbrot attempts to show that
  1317. reality is fractal-like.  He also has pictures of many different fractals.
  1318.  
  1319. 14.  H. O. Peitgen and P. H. Richter, _The Beauty of Fractals_, Springer-
  1320. Verlag Inc., New York, 1986.  ISBN 0-387-15851-0.  This book has lots of nice
  1321. pictures. There is also an appendix giving the coordinates and constants for
  1322. the color plates and many of the other pictures.
  1323.  
  1324. 15.  H. Peitgen and D. Saupe, eds., _The Science of Fractal Images_,
  1325. Springer-Verlag Inc., New York, 1988.  ISBN 0-387-96608-0.  This book contains
  1326. many color and black and white photographs, high level math, and several
  1327. pseudocoded algorithms.
  1328.  
  1329. 16.  H. Peitgen, H. Juergens and D. Saupe, _Fractals for the Classroom_,
  1330. Springer-Verlag, New York, 1992.  These two volumes are aimed at advanced
  1331. secondary school students (but are appropriate for others too), have lots of
  1332. examples, explain the math well, and give BASIC programs.
  1333.  
  1334. 17.  H. Peitgen, H. Juergens and D. Saupe, _Chaos and Fractals: New Frontiers
  1335. of Science_, Springer-Verlag, New York, 1992.
  1336.  
  1337. 18.  C. Pickover, _Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an
  1338. Unseen World_, St. Martin's Press, New York, 1990.  This book contains a bunch
  1339. of interesting explorations of different fractals.
  1340.  
  1341. 19.  J. Pritchard, _The Chaos Cookbook: A Practical Programming Guide_,
  1342. Butterworth-Heinemann, Oxford, 1992.  ISBN 0-7506-0304-6. It contains type-
  1343. in-and-go listings in BASIC and Pascal. It also eases you into some of the
  1344. mathematics of fractals and chaos in the context of graphical experimentation.
  1345. So it's more than just a type-and-see-pictures book, but rather a lab
  1346. tutorial, especially good for those with a weak or rusty (or even non-
  1347. existent) calculus background.
  1348.  
  1349. 20.  P. Prusinkiewicz and A. Lindenmayer, _The Algorithmic Beauty of Plants_,
  1350. Springer-Verlag, NY, 1990.  ISBN 0-387-97297-8. A very good book on L-systems,
  1351. which can be used to model plants in a very realistic fashion.  The book
  1352. contains many pictures.
  1353.  
  1354. 21.  M. Schroeder, _Fractals, Chaos, and Power Laws: Minutes from an Infinite
  1355. Paradise_, W. H. Freeman, New York, 1991.  This book contains a clearly
  1356. written explanation of fractal geometry with lots of puns and word play.
  1357.  
  1358. 22.  J. Sprott, _Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos_, M&T Books
  1359. (subsidary of Henry Holt and Co.), New York.  " ISBN 1-55851-298-5.  This book
  1360. describes a new method for generating beautiful fractal patterns by iterating
  1361. simple maps and ordinary differential equations. It contains over 350 examples
  1362. of such patterns, each producing a corresponding piece of fractal music. It
  1363. also describes methods for visualizing objects in three and higher dimensions
  1364. and explains how to produce 3-D stereoscopic images using the included
  1365. red/blue glasses. The accompanying 3.5" IBM-PC disk contain source code in
  1366. BASIC, C, C++, Visual BASIC for Windows, and QuickBASIC for Macintosh as well
  1367. as a ready-to-run IBM-PC executable version of the program. Available for
  1368. $39.95 + $3.00 shipping from M&T Books (1-800-628-9658).
  1369.  
  1370. 23.  D. Stein, ed., _Proceedings of the Santa Fe Institute's Complex Systems
  1371. Summer School_, Addison-Wesley, Redwood City, CA, 1988.  See especially the
  1372. first article by David Campbell: ``Introduction to nonlinear phenomena''.
  1373.  
  1374. 24.  R. Stevens, _Fractal Programming in C_, M&T Publishing, 1989 ISBN 1-
  1375. 55851-038-9.  This is a good book for a beginner who wants to write a fractal
  1376. program.  Half the book is on fractal curves like the Hilbert curve and the
  1377. von Koch snow flake.  The other half covers the Mandelbrot, Julia, Newton, and
  1378. IFS fractals.
  1379.  
  1380. 25.  I. Stewart, _Does God Play Dice?: the Mathematics of Chaos_, B.
  1381. Blackwell, New York, 1989.
  1382.  
  1383. 26.  T. Wegner and M. Peterson, _Fractal Creations_, The Waite Group, 1991.
  1384. This is the book describing the Fractint program.
  1385.  
  1386. Journals:
  1387.  
  1388. "Chaos and Graphics" section in the quarterly journal _Computers and
  1389. Graphics_.  This contains recent work in fractals from the graphics
  1390. perspective, and usually contains several exciting new ideas.
  1391.  
  1392. "Mathematical Recreations" section by A. K. Dewdney in _Scientific American_.
  1393.  
  1394. Algorithm - The Personal Computer Newsletter.  P.O. Box 29237, Westmount
  1395. Postal Outlet, 785 Wonderland Road S., London, Ontario, Canada, N6K 1M6.
  1396.  
  1397. Fractal Report.  Reeves Telecommunication Labs. West Towan House, Porthtowan,
  1398. TRURO, Cornwall TR4 8AX, U.K.
  1399.  
  1400. FRAC'Cetera.  This is a gazetteer of the world of fractals and related areas,
  1401. supplied in IBM PC format HD disk.  For more information, contact:  Jon
  1402. Horner, Editor, FRAC'Cetera, Le Mont Ardaine, Rue des Ardains, St. Peters,
  1403. Guernsey GY7 9EU, Channel Islands, United Kingdom.
  1404.  
  1405. Fractals, An interdisciplinary Journal On The Complex Geometry of Nature.
  1406. This is a new journal published by World Scientific.  B.B Mandelbrot is the
  1407. Honorary Editor and T. Vicsek, M.F. Shlesinger, M.M Matsushita are the
  1408. Managing Editors).  The aim of this first international journal on fractals is
  1409. to bring together the most recent developments in the research of fractals so
  1410. that a fruitful interaction of the various approaches and scientific views on
  1411. the complex spatial and temporal behavior could take place.
  1412.  
  1413. ------------------------------
  1414.  
  1415. Subject: Acknowledgements
  1416.  
  1417. For their help with this file, thanks go to:
  1418. Alex Antunes, Steve Bondeson, Erik Boman, Jacques Carette, John Corbit,
  1419. Abhijit Deshmukh, Tony Dixon, Robert Drake, Detlev Droege, Gerald Edgar,
  1420. Gordon Erlebacher, Yuval Fisher, Duncan Foster, David Fowler, Murray Frank,
  1421. Jean-loup Gailly, Noel Giffin, Earl Glynn, Lamont Granquist, Luis Hernandez-
  1422. Ure:a, Jay Hill, Arto Hoikkala, Carl Hommel, Robert Hood, Oleg Ivanov, Simon
  1423. Juden, J. Kai-Mikael, Leon Katz, Matt Kennel, Tal Kubo, Jon Leech, Brian
  1424. Meloon, Tom Menten, Guy Metcalfe, Eugene Miya, Lori Moore, Robert Munafo,
  1425. Miriam Nadel, Ron Nelson, Tom Parker, Dale Parson, Matt Perry, Cliff Pickover,
  1426. Francois Pitt, Kevin Ring, Michael Rolenz, Tom Scavo, Jeffrey Shallit, Rollo
  1427. Silver, Gerolf Starke, Bruce Stewart, Dwight Stolte, Tommy Vaske, Tim Wegner,
  1428. Andrea Whitlock, Erick Wong, Wayne Young, and others.
  1429.  
  1430. Special thanks to Matthew J. Bernhardt (mjb@acsu.buffalo.edu) for collecting
  1431. many of the chaos definitions.
  1432.  
  1433. Copyright 1993,1994 Ken Shirriff (shirriff@cs.Berkeley.EDU).
  1434.